% TP8_ProcessusAutoRegressif.m
% 
% Ce script traite d'un processus auto-régressif (AR) d'ordre 2.
% Il établit les équations de Yule-Walker, calcule les valeurs théoriques
% de la fonction d'autocorrélation, génère une réalisation du processus,
% calcule numériquement l'autocorrélation et compare les résultats théoriques et numériques.

% ---------------------------- Paramètres ----------------------------

% Coefficients du modèle AR(2)
a1 = -0.8;
a2 = 0.3;

% Longueur de la réalisation
N = 1024;

% ------------------------ Équations de Yule-Walker -------------------

% Les équations de Yule-Walker pour un AR(2) sont :
% ΓZ(0) + a1 ΓZ(1) + a2 ΓZ(2) = σ_N^2
% ΓZ(1) + a1 ΓZ(0) + a2 ΓZ(1) = 0
% ΓZ(2) + a1 ΓZ(1) + a2 ΓZ(0) = ΓZ(1)

% Supposons que σ_N^2 = 1 (car N(k) ~ N(0,1))

% On peut écrire ces équations sous forme matricielle A * Gamma = b

A = [1, a1, a2;
     a1, 1, a1;
     a2, a1, 1];

b = [1; 0; 0];

% Résolution pour ΓZ(0), ΓZ(1), ΓZ(2)
Gamma = A \ b;

Gamma0 = Gamma(1);
Gamma1 = Gamma(2);
Gamma2 = Gamma(3);

% Affichage des résultats théoriques
fprintf('Valeurs théoriques de la fonction d''autocorrélation:\n');
fprintf('ΓZ(0) = %.4f\n', Gamma0);
fprintf('ΓZ(1) = %.4f\n', Gamma1);
fprintf('ΓZ(2) = %.4f\n', Gamma2);

% -------------------------- Simulation du Processus AR(2) -------------

% Génération de la séquence N(k) ~ N(0,1)
N_seq = randn(N, 1);

% Initialisation du processus Z(k)
Z = zeros(N, 1);

% Génération du processus selon l'équation AR(2)
for k = 3:N
    Z(k) = -a1 * Z(k-1) - a2 * Z(k-2) + N_seq(k);
end

% ------------------------ Affichage de la Réalisation -----------------

figure;
plot(1:N, Z, 'b');
xlabel('Temps (k)');
ylabel('Z(k)');
title('Réalisation du Processus Auto-Régressif Z(k)');
grid on;

% ----------------------- Calcul de l'Autocorrélation -------------------

% Calcul de l'autocorrélation numérique avec xcorr
[autocorr_num, lags] = xcorr(Z, 2, 'unbiased'); % Calcul jusqu'au lag 2

% Extraction des autocorrélations pour lag 0, 1, 2
Gamma_num = autocorr_num(lags >=0 & lags <=2);

% Affichage des autocorrélations numériques
fprintf('\nAutocorrélations numériques:\n');
fprintf('ΓZ(0) = %.4f\n', Gamma_num(1));
fprintf('ΓZ(1) = %.4f\n', Gamma_num(2));
fprintf('ΓZ(2) = %.4f\n', Gamma_num(3));

% ------------------------ Comparaison Théorie vs Numérique -------------

% Affichage comparatif
figure;
stem(0:2, [Gamma0, Gamma1, Gamma2], 'filled', 'DisplayName', 'Théorique');
hold on;
stem(0:2, Gamma_num', 'r--', 'DisplayName', 'Numérique');
xlabel('Lag');
ylabel('Autocorrélation ΓZ(lag)');
title('Comparaison des Autocorrélations Théoriques et Numériques');
legend;
grid on;
hold off;

% ----------------------------- Fin du Script --------------------------