TP Signaux aléatoires - SRT4

TP2 Fonction de variables aléatoires

Nom - Prénom : Avenel - Théophile
Soit N variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme entre 0 et 1 : et soit .
  1. Calculer la fonction de répartition de Y.
  2. En déduire sa densité de probabilité.
  3. Générer des valeurs de Y
  4. Tracer l'histogramme des valeurs générées. Comparer avec la densité de probabilité de Y.
 
close all;
clear all;
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Fonction de v.a.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
N = 5; % Nombre de variables aléatoires indépendantes
Nb = 1000000; % Nombre de réalisations
 
% Génération de réalisations de Y
X = rand(N, Nb); % Génération de Nb valeurs aléatoires uniformes pour chaque variable
Y = max(X); % Y est défini comme le maximum des N variables aléatoires
 
% Calcul de la moyenne des réalisations et comparaison avec l'espérance mathématique de Y
moyenne_Y = mean(Y); % Moyenne empirique des réalisations de Y
esperance_Y = N / (N + 1); % Espérance théorique de Y pour N variables uniformes
 
fprintf('Moyenne estimée de Y = %.4f\n', moyenne_Y);
Moyenne estimée de Y = 0.8331
fprintf('Espérance théorique de Y = %.4f\n', esperance_Y);
Espérance théorique de Y = 0.8333
On observe que la moyenne (arithmétique) des réalisations est proche de la moyenne statistique
 
 
% Tracé de la densité de probabilité de Y
figure;
lin = [0:0.01:1];
F = lin.^N; % Fonction de répartition théorique
D = N .* lin.^(N-1); % Densité de probabilité théorique
 
plot(lin, D, 'LineWidth', 2); % Tracé de la densité de probabilité
title('Densité de probabilité théorique de Y');
xlabel('Y');
ylabel('Densité de probabilité');
 
% Vérification que l'intégrale de la densité est égale à 1
un = sum(D) * 0.01; % Somme discrète pour approximer l'intégrale
fprintf('Aire sous la courbe de densité (devrait être proche de 1) = %.4f\n', un);
Aire sous la courbe de densité (devrait être proche de 1) = 1.0252
 
% Tracé de l'histogramme des réalisations de Y
hold on;
histogram(Y, 'Normalization', 'pdf', 'BinWidth', 0.01);
legend('Densité théorique', 'Histogramme des réalisations de Y');
 
hold off;