% TP Signaux aléatoires - SRT4
%% TP6 Fonction de corrélation et densité spectrale de puissance
%
% Nom - Prénom :
%
% Soit la séquence aléatoire Y(n)=\cos(2\pi f n + \phi) + B(n), où f=1/128, \phi est une phase aléatoire (variable aléatoire) uniformément répartie sur [0,2\pi[ (fonction rand), et B(n) est une séquence aléatoire à valeurs indépendantes gaussiennes \mathcal N(1,1) (fonction randn).
% Calculez l'espérance mathématique E(Y(n)) ainsi que la séquence de corrélation \Gamma_Y(n,n') de cette séquence aléatoire Y(n). La séquence aléatoire Y(n) est-elle stationnaire ? Précisez votre réponse.
% Calculez numériquement et représentez la séquence de corrélation de Y(n) (fonction xcorr). Le résultat obtenu est-il conforme à la théorie ? En particulier, la valeur de \Gamma_Y(0) obtenue est-elle en accord avec la valeur théorique. Que représente cette dernière valeur ?
% Calculez numériquement et représentez la densité spectrale de puissance moyenne du processus Y(n) en passant  par la relation de Wiener-Kintchine (en utilisant la fonction fft). Que met en évidence cette densité spectrale de puissance ?
%



close all;
clear all;
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  Fonction de corrélation et densité spectrale de puissance
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%

%
%
% Compte tenu du premier exercice il vient que E(Y(n))=E(B(n))=1
% En effet E(Y(n))=E(\cos(2\pi f n + \phi) ) + E(B(n))
% D'autre part E(Y(n)Y(n'))=E(\cos(2\pi f n + \phi)\cos(2\pi f n' + \phi))+E(\cos(2\pi f n + \phi)B(n'))+E(\cos(2\pi f n' + \phi)B(n))+E(B(n)B(n'))
% avec E(\cos(2\pi f n + \phi)B(n'))=E(\cos(2\pi f n + \phi))E(B(n'))=0
% et E(\cos(2\pi f n + \phi)\cos(2\pi f n' + \phi))=\frac{1}{2}\cos(2\pi f (n-n'))
% La statistique du bruit nous indique que E(B(n)B(n'))=E( B(n)^2)=m_B^2+\sigma_B^2=2 si n=n', et E(B(n)B(n'))=E(B(n))E(B(n'))=m_B^2=1 si n\neq n'.
% Si n=n', E(Y(n)Y(n'))=E(Y(n)^2)=\Gamma_Y(0)=\frac{1}{2}+2
% Si n\neq n', E(Y(n)Y(n'))=\Gamma_Y(n,n')=\frac{1}{2}\cos(2\pi f (n-n'))+1
%
% La séquence aléatoire Y(n) est par conséquent faiblement stationnaire.

nbpoints=1024;
freq=1/128;
Points=[0:nbpoints-1];
FPoints=freq*Points;

% avec  4 réalisations
nbrealisations=4;



% bruit gaussien N(1,1)


% onction de corrélation


% Le résultat obtenu est conforme à la théorie. La valeur en zero est la puissance totale moyenne du signal aléatoire, c'est à dire la puissance moyenne du cosinus qui vaut 0.5 à laquelle s'ajoute celle du bruit gaussien qui vaut m_B^2+\sigma_B^2=2 ; soit au total 2.5. On remarque que cette valeur 2.5 est obtenue avec une imprécision qui se réduit si on augmente le nombre de points sur lequel le calcul est réalisé.

 %densité spectrale de puissance


%
% On voit  que la puissance du signal aléatoire se répartit sur exactement deux fréquences : la fréquence nulle (puissance du bruit) et la fréquence 1/128.  Sur la figure, l'axe des fréquences est donné relativement à la valeur freq=1/128 (Une raie spectrale à l'abscisse f_0 serait à la fréquence f_0*freq=f_0/128).



%